如何求解一般情况的麦克斯韦方程组?《张朝阳的物理课》求解动态情况的电磁势

  9月4日12时,《张朝阳的物理课》第八十二期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间,带着网友讨论了将电磁场表示为电磁势的意义,并利用简易的解方程技巧以及散度定理求解出静电荷产生的静电势。

  随后开始讨论一般情况,在洛伦兹规范下将麦克斯韦方程组用电磁势表示出来,发现电势与磁矢势满足的方程的形式相同,通过类似静电势的求解方法解出了电磁势关于电荷电流密度的表达式。

  张朝阳将电磁理论分为三层楼,第一楼是电势与磁矢势,第二楼是电磁场,是由第一层楼进行时空偏导得到,而第三楼的物理量则是第二楼的进行时空偏导得到。第二楼的电磁场是实际的可观测量,第三楼对应的是更具体综合的物理量。而第一楼的电磁势虽然目前没有物理意义,但一楼的物理量不仅数量少,而且它们还可以导出二楼与三楼的物理量,由它们来构建理论体系还具有很多优势,所以接下来需要研究麦克斯韦方程组在一楼的表达。

  在上节课中,张朝阳已经求解出静态的磁矢势关于电流密度的表达式,这节课求解电势关于电荷密度的表达式。

  张朝阳先解电荷集中在原点处的情况,这时电荷密度用狄拉克函数描述。在非原点处,电势就是简单的拉普拉斯方程,利用球坐标系解得电势与原点距离成反比。为了进一步求得比例系数,对方程两边同时进行球体积分,利用散度定理可以求得电势项的积分,利用狄拉克函数性质可以求得电荷密度的积分,最终计算得出比例系数。

  随后张朝阳开始考虑一般情况下的麦克斯韦方程组的求解。首先利用麦克斯韦方程组的两个方程定义出了一般情况下的电势和磁矢势,紧接着将麦克斯韦方程组中另外两个方程用电磁势表示出来,使用洛伦兹规范使得方程具有对称简洁易解的形式。之后开始求解原点处随时间变化的点电荷产生的电势,这样在非原点处方程化为波动方程。

  为了进一步求得波动函数,使用与静态情况类似的方法,对电势方程进行球体积分,但球体体积趋于零,于是电势的时间偏导项没有贡献,运用散度定理与狄拉克函数性质求得波动函数与电荷函数的关系。再利用叠加原理求得一般电势方程的解。由于磁矢势方程与电势方程形式相同,可类比电势的表达式得到磁矢势方程的解,最终电磁势用电荷电流密度表达出来,电磁场也可通过电磁势求得。

  截至目前,《张朝阳的物理课》已直播八十余期,每周周五、周日中午12时在直播,其风格注重推导,通过一步一步详尽的数学计算,推导出相关的物理公式。

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